円周上に7つの点をムラなく並べるには？

円周を12分割して、12時の位置から時計回りに７つの点を並べるとする。

ただし偏りのないようムラなく並べたい。ここで「ムラなく」を、以下のように定義するとする。

1. 30度が連続しない（そこが密になるから）。
2. 60度を超えない（そこが疎になるから）。

どんな並べ方があるか。

やってみると14通りの並べ方があるのがわかる。

1	2		13	14
p091224_01.draw("canvas091224_1", [0, 1, 3, 4, 6, 8, 10]);	p091224_01.draw("canvas091224_2", [0, 1, 3, 5, 6, 8, 10]);	･･⇒･･	p091224_01.draw("canvas091224_3", [0, 2, 4, 6, 7, 9, 11]);	p091224_01.draw("canvas091224_4", [0, 2, 4, 6, 8, 9, 11]);

実は、この円（360度）を音階の 1オクターブと捉えると、7つの点の組み合わせは十二平均律上の 7音の音階と考えることができる。さらによく見ると、14通りとは、長音階（Ionian）を転回した７通りと、旋律的短音階上昇形（Melodic Minor）を転回した７通りの計14である事がわかる。

Lydian Aug	Lydian	Ionian	Melodic Minor
p091224_01.draw2("canvas091226_0", [0, 2, 4, 6, 8, 9, 11]);	p091224_01.draw2("canvas091226_1", [0, 2, 4, 6, 7, 9, 11]);	p091224_01.draw2("canvas091226_2", [0, 2, 4, 5, 7, 9, 11]);	p091224_01.draw2("canvas091226_3", [0, 2, 3, 5, 7, 9, 11]);
Lydian ♭7	Mixolydian	Dorian	Dorian♭2
p091224_01.draw2("canvas091226_4", [0, 2, 4, 6, 7, 9, 10]);	p091224_01.draw2("canvas091226_5", [0, 2, 4, 5, 7, 9, 10]);	p091224_01.draw2("canvas091226_6", [0, 2, 3, 5, 7, 9, 10]);	p091224_01.draw2("canvas091226_7", [0, 1, 3, 5, 7, 9, 10]);
Mixolydian♭6	Aeolian	Phrygian	Locrian♮2
p091224_01.draw2("canvas091226_8", [0, 2, 4, 5, 7, 8, 10]);	p091224_01.draw2("canvas091226_9", [0, 2, 3, 5, 7, 8, 10]);	p091224_01.draw2("canvas091226_a", [0, 1, 3, 5, 7, 8, 10]);	p091224_01.draw2("canvas091226_b", [0, 2, 3, 5, 6, 8, 10]);
Locrian	Altered
p091224_01.draw2("canvas091226_c", [0, 1, 3, 5, 6, 8, 10]);	p091224_01.draw2("canvas091226_d", [0, 1, 3, 4, 6, 8, 10]);

この14の音階は、以下のように２次元の表の上でグラデーションを構成するように並べる事ができる。

	+5	p5	+4	p4	M3	m3	M2	m2
Lyd+		Lyd		Ion		Mel		-
										M7
-		Lyd♭7		Mix		Dor		Dor♭2		m7
										M6
-		-		Mix♭6		Aeo		Phr		m6
										p5
-		-		-		Loc♮2		Loc		-5
										p4
-		-		-		-		Alt		-4

円周の図と表を見比べると、表で右上-左下の対角線を挟んで対称の位置にある組が、円周の図でみると逆回転の組になっている。また左回りでも右回りでも対称なのは、Dorian と　Mixolydian♭13 で、これらは表の対角線上に来ているのも分かる。

青文字で書いた Ionian の転回形は、一本につながってジグザグに配置され、その両側からMelodic Minor の転回形が挟み込む形に構成される。

なんだか見れば見るほど不思議な気がする。

ちなみに、冒頭の「ムラなく」並べるルールを６音に適用すると Whole Tone Scale になり、８音に適用すると Diminished Scale または Combination Diminished Scale になる。

参考までに書くと、普通のドレミファソラシド（Ionian）を頭の中で思い浮かべることができる人なら（できない人は見たことないが）、上の表で Ionian から始めて少しずつ他のマス目に移動していく形で、割と簡単に14個の７音音階と６音・８音の音階の計17通りの音階を自由に頭の中で鳴らせるようになる。